2.3.1 잔차식 구성

학습 데이터를 생성한 PFM에서는 Allen–Cahn 방정식의 시간 항 $\partial \eta / \partial t$를 이용하여 시간에 따른 질서함수의 변화를 계산한다. 그러나 WGAN-GP는 특정 시점의 이미지를 직접 생성하는 구조이므로, 시간 미분 항을 포함한 원래의 Allen–Cahn 방정식을 그대로 적용하기는 어렵다. 이에 따라 본 연구에서는 시간항을 제외한 공간 잔차(spatial residual)를 정의하여 생성기의 물리 제약 항으로 사용하였다.

학습 데이터 생성에 사용한 PFM 시뮬레이션에서는 섹션 2.1에서 설명한 바와 같이 다결정 구조를 표현하기 위해 다중 질서 변수 $\eta_i$를 사용하며 서로 다른 결정립 간의 중첩을 억제하기 위한 상호작용 항이 포함된다. 반면에 WGAN-GP는 단일 채널의 grayscale 이미지를 출력하므로 개별 질서 변수를 직접 복원하기 어렵고, 상호작용 항 역시 적용하기 어렵다. 따라서 본 연구에서는 생성기의 grayscale 출력값을 물리 잔차 계산을 위한 유효 상태 변수 $u$로 직접 사용하였다. 현재 generator의 출력은 sigmoid 함수를 통해 [0,1] 범위로 제한되므로, 잔차식 역시 이 구간에서 안정상을 갖는 이중우물(double-well) 형태를 기반으로 구성하였다. 이에 따라 잔차 항은 $u = 0$과 $u = 1$을 안정상으로 유도하는 $u^2(1-u)^2$ 형태의 double-well potential을 미분한 형태로 정의하였다.

최종적으로 본 연구에서 사용한 잔차 $r(u)$는 다음과 같다.

여기서 첫 번째 항은 $u$가 0 또는 1의 안정한 값으로 수렴하도록 유도하는 항이며, 두 번째 라플라시안 항은 계면 에너지(gradient energy) 기여를 반영하여 공간적으로 급격한 변화가 과도하게 나타나는 것을 억제한다. 라플라시안은 2차원 5-point stencil 커널을 이용하여 계산하였고, 경계에서는 replicate padding을 적용하였다. 식 (2)에서 $r(u)$은 Allen–Cahn 방정식 기반 물리 제약의 잔차(residual)를 의미하며, 값이 0에 가까울수록 본 연구에서 정의한 Allen–Cahn 기반 공간 잔차를 만족하는 계면 profile과 더 일관된 것으로 해석하였다. Gradient energy coefficient $k$는 라플라시안 항의 상대적 강도를 결정하는 물리 파라미터이며, PFM 시뮬레이션 설정과의 일관성을 위해 $k = 0.5$로 두었다.

물리 잔차는 생성 이미지의 전체 격자점이 아니라 collocation point 집합 $\Omega_c$에서 계산하였다. collocation point는 생성 이미지 전역에서 균일하게 선택하는 대신, intensity threshold를 기준으로 정의한 GB 영역을 우선적으로 포함하도록 샘플링하였다. 나머지 점들은 전역에서 무작위로 보충하였다. 물리 제약 손실의 norm 선택에 있어, L2(제곱 평균)를 사용할 경우 PDE loss값의 크기가 작아져 adversarial loss 대비 충분한 기여를 확보하기 어려웠다. 이에 절대값 평균(L1)을 채택하여 PDE 손실이 전체 generator 손실에서 유의미한 비중을 유지하도록 하였다. PDE loss는 다음 식 (3)과 같이 표현된다.

2.3.2 Collocation points 샘플링

Collocation points는 식 (2)의 물리 잔차 $r(u)$를 평가하는 격자점 집합으로, 생성 이미지가 물리 제약을 따르도록 $L_{PDE}$ 계산에 사용된다. 학습 과정에서 collocation points는 각 generator 업데이트마다 새로 구성되며, 선택된 위치에서의 잔차를 최소화하도록 generator가 업데이트된다. 배치마다 Boolean collocation mask를 구하고, mask가 참(true)인 격자점에서의 잔차 $r(u)$만 추출하여 $L_{PDE}$를 계산하였다.

생성기 출력 해상도 $H \times W = 512 \times 512$에 대해 collocation points의 개수 $N_c$는 식 (4)와 같이 전체 픽셀 수 대비 비율 $\alpha$로 정의하였고, 구현에서는 소수점 이하는 버림하여 정수로 사용하였다.

다결정 미세구조에서 GB 형상은 이미지의 구조적 특성을 반영하는 중요한 요소이므로, 물리 제약이 GB 후보 영역에서 우선적으로 적용되도록 collocation mask를 적용하였다. Collocation mask는 생성기 출력의 detached copy로부터 계산하여, mask 생성 과정이 생성기 기울기(generator gradient) 계산에 영향을 주지 않도록 하였다. Collocation points에서 계산된 잔차로부터 $L_{PDE}$를 계산하고, 이를 포함한 생성기 loss를 최소화하도록 생성기를 업데이트하였다. 생성기의 grayscale 출력 이미지 $I(x, y) \in [0,1]$에서 intensity가 클수록 밝게 표현되기 때문에, GB가 상대적으로 높은 intensity 영역으로 나타난다. 이에 따라 intensity 임계값 $\tau_{gb}$를 이용해 GB 후보 영역을 다음 수식 (5)와 같이 정의하였다.

식 (6)과 같이 전체 collocation points 중 일정 분율 $\rho$가 GB 후보군에서 샘플링되도록 하였다. 즉, $N_{gb} = \rho N_c$개는 $\Omega_{gb}$에서 무작위로 선택하고, 나머지 $N_c - N_{gb}$개는 전체 도메인에서 무작위로 선택하여 물리적 제약이 GB에서 강하게 적용되도록 구성하였다.

만약 생성 이미지에서 $\Omega_{gb}$에 속하는 후보 픽셀 수가 $N_{gb}$보다 부족한 경우, 부족한 collocation points는 전체 도메인에서 추가로 샘플링하여 목표 collocation points $N_c$가 유지되도록 하였다. $N_{gb}$는 정수이므로 구현에서는 소수점 이하는 버림하여 사용하였다. 각 하이퍼파라미터(hyperparameter)는 timestep $t = 2000$의 학습 이미지 데이터셋을 기준으로 조정하였다. Mode collapse가 발생하지 않으면서 생성 이미지에서 GB 구조가 안정적으로 형성되는 설정을 선택하였으며, 최종적으로 $\alpha = 0.05$, $\tau_{gb} = 0.30$, $\rho = 0.95$를 사용하였다.

2.3.3 최종 생성기 손실 함수

생성기 손실 함수 $L_G$는 식 (7)과 같이 WGAN-GP의 adversarial loss $L_{adv}$와 물리 잔차 기반 손실 $L_{PDE}$의 가중합으로 정의된다.

가중치 $\lambda_{PDE}$는 adversarial 항과 물리 제약 항의 상대적 기여도를 조절하는 하이퍼파라미터이다. 본 연구에서는 $\lambda_{PDE} = 50.0$으로 설정하여, $\lambda_{PDE}$항은 전체 생성기 손실에 유의미한 기여를 가지도록 하였다. 생성기는 $L_{adv}$ 최소화를 통해 데이터 기반 미세구조 특성을 학습하는 동시에, $L_{PDE}$ 최소화를 통해 GB의 형태적 일관성이 유도되도록 구성된다.

2.5.1 단절 결정립계(DGB, dangling grain boundary) 수

DGB 수는 생성 이미지에서 GB의 연속성과 구조적 타당성을 평가하기 위한 정량 지표로 사용하였다. 다결정 미세구조에서 GB는 연속적인 네트워크 형태를 이루어야 하므로, GB가 비정상적으로 단절된 패턴이 많을수록 생성 이미지의 물리적 타당성이 낮다고 볼 수 있다. 따라서 GB의 비연속성을 정량적으로 평가하기 위해 DGB 수를 측정하였다.

정량적으로 측정하기 위해 DGB 수를 skeletonized GB 상에서 검출되는 endpoint의 개수로 정의하였다^[22]. 연속적으로 연결된 GB 네트워크에서는 endpoint가 나타나지 않지만, boundary가 끊긴 경우에는 열린 끝점이 형성되므로 endpoint 수를 DGB 수로 사용할 수 있다.

DGB 수는 그림 2와 같은 절차로 계산하였다. 먼저 각 이미지를 grayscale로 불러온 뒤 threshold 0.25 적용하여 GB 영역을 1, 결정립 내부 영역을 0으로 이진화하였다. 이후 이미지 가장자리에서 인공적으로 생성될 수 있는 endpoint를 줄이기 위해 외곽 border를 foreground로 강제하였다. 다음으로 disk 구조 요소(radius 2)와 square 구조 요소(kernel size 3)를 이용한 morphological closing을 순차적으로 적용하여 작은 간극을 보정한 후, skeletonization을 통해 GB를 1-pixel 두께의 skeleton으로 변환하였다. 그 후 8-neighborhood 기준으로 이웃 foreground 픽셀 수가 1인 픽셀을 endpoint로 검출하였으며, 이미지 가장자리 근처의 endpoint는 제외하였다. 또한 1-pixel gap에 의해 마주보는 endpoint 쌍이 인공적으로 발생하는 경우를 줄이기 위해 추가적인 gap filtering을 적용하였다. 최종적으로 남은 endpoint의 개수를 해당 이미지의 DGB 수로 정의하였다.

Fig. 2. Workflow for quantifying DGB(dangling grain boundary) in generated microstructure images. The originally generated image (a) was converted into a binarized GB map through grayscale thresholding and morphological closing (b), and then transformed into a 1-pixel-wide skeleton (c). The number of detected endpoints in the skeletonized GB network was used as the DGB count.

2.5.2 결정립 크기 분포 (GSD, grain size distribution)

결정립 크기 분포(GSD, grain size distribution)는 미세구조 특성을 나타내는 대표적인 정량 지표 중 하나이며, 따라서 생성 이미지가 학습 데이터의 미세구조 특성을 잘 반영하는지 여부를 평가하는데 사용될 수 있다. 결정립 성장 과정에서는 시간이 지남에 따라 결정립의 성장과 소멸이 진행되며, 이에 따라 전체 결정립 수 및 GB의 양이 변화한다. 따라서, WGAN-GP 모델이 학습 데이터의 다결정 미세구조를 적절히 학습하였다면 생성 이미지에서도 학습 데이터와 유사한 GSD가 나타나야 한다.

이미지 가장자리에 걸쳐 존재하는 결정립은 일부가 잘린 영역이므로, 이러한 경계 결정립(edge grain)은 제외하고 온전한 형태의 내부 결정립(inner grain)만을 대상으로 GSD를 얻었다. 내부 결정립 수는 각 이미지를 grayscale로 불러온 뒤 Otsu thresholding을 적용하여 이진화하고, connected component labeling을 수행하여 계산하였다. 이때 8-connectivity 기준으로 연결된 영역을 하나의 grain으로 간주하였으며, 각 연결 성분의 bounding box가 이미지 외곽에 닿는 경우에는 경계 결정립으로 판단하여 제외하였다. 또한, GB에 의해 완전히 둘러싸인 영역만이 독립된 connected component로 검출되므로 DGB가 있는 경우 해당 영역이 완전히 닫히지 않게 되고, 따라서 해당 영역은 인접 결정립과 하나의 connected component로 병합되어 단일 결정립으로 계수된다. 따라서, 본 연구에서 결정립 수는 완전히 닫힌 GB로 둘러싸인 영역만을 대상으로 한다. 그림 3은 $t = 2000$에서 얻은 PFM 이미지에 대하여 내부 결정립만을 선택하여 계수한 예시를 보여준다.

Fig. 3. Example of inner grain counting for a t = 2000 PFM microstructure image: (a) Original microstructure image. (b) Visualization of the detected inner grains, where each labeled region corresponds to one grain counted in the analysis.

2.5.3 결정립 크기의 공간 분포 (spatial distribution of grain size)

전체 평균 결정립 크기가 동일하더라도 큰 결정립이 특정 영역에 집중되어 있는 경우와 고르게 분산된 경우는 미세구조의 공간적 특성이 서로 다르다. 따라서 생성 이미지가 학습 데이터의 공간적 분포를 재현하는지를 평가하기 위해, PFM 및 생성 이미지를 4 × 4격자로 분할하여 구역별 결정립 크기의 변동을 정량화하는 분석을 추가로 수행하였다.

먼저 각 이미지에 대해 Section 2.5.2와 동일한 방법으로 내부 결정립을 검출하였다. 각 내부 결정립에 대해, 해당 connected component를 구성하는 픽셀 좌표의 산술 평균으로 무게중심(centroid)을 산출하였다. 이후 이미지를 4 × 4 격자로 분할하여 16개의 동일 크기 구역을 정의하고, 각 결정립의 무게중심이 위치한 구역에 해당 결정립을 배정하였다. 각 결정립의 면적은 해당 결정립 영역을 구성하는 픽셀 수로 정량화하였으며, 각 구역에 배정된 결정립들의 면적 평균을 $S_k$ ($k = 1, 2, \dots, 16$)로 정의하였다. 결정립이 하나도 배정되지 않은 구역은 이후 통계 계산에서 제외하였다.

그림 4는 $t = 2000$에서의 PFM 이미지에 대해 공간 분포 분석 절차에 대한 예시이다. (a)는 원본 미세구조 이미지이며, (b)는 동일 이미지에 4 × 4 격자 분할과 검출된 내부 결정립의 무게중심을 빨간 점으로 표시한 이미지이다. 이 이미지의 내부 결정립은 총 217개이며, 16개 구역별 평균 결정립 크기는 540.8에서 1,210.1 픽셀까지 분포하였다. 구역 (2,1)의 평균 결정립 면적은 540.8 픽셀로 가장 작았던 반면, 구역 (4,2)는 평균 1,210.1 픽셀로 상대적으로 큰 결정립이 분포하고 있어, 동일 이미지 내에서도 구역에 따라 결정립 크기에 차이가 존재함을 확인할 수 있다.

Fig. 4. Example of spatial distribution analysis for a PFM microstructure image at t =2000. (a) Original microstructure image. (b) 4 × 4 grid partition with detected inner grain centroids (red dots).

결정립 크기의 공간 분포 정량 지표로는 16개 구역별 평균 결정립 크기의 변동계수(CV, coefficient of variation)를 사용하였다. CV는 유효 구역들의 $S_k$에 대한 표준편차를 평균으로 나눈 값으로 정의된다. CV가 작을수록 구역별 평균 결정립 크기가 서로 유사하여 공간적으로 균질한 분포임을 나타내고, 클수록 구역별 결정립 크기의 공간적 변동이 큼을 의미한다. 하나의 이미지에 대해 하나의 CV 값이 산출되며, 이 값은 해당 이미지 내 결정립 크기의 공간적 균질성 정도를 요약한다. 위 예시 이미지의 경우 CV는 0.240으로 계산되었다. 이 지표를 PFM, PI-WGAN, baseline WGAN 각 그룹의 이미지 1,000장에 대해 각각 산출하고, 세 그룹 간 CV 분포를 비교함으로써 생성 이미지가 학습 데이터의 공간적 변동 특성을 재현하는지를 평가하였다.

3.2.1 학습 과정에서의 DGB 수 중앙값 및 평균 비교

학습 과정에서 물리적 제약의 효과를 정량적으로 평가하기 위해, 각 epoch에서 생성된 이미지의 DGB 수를 비교하였다. 이를 위해 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 epoch에서 baseline WGAN와 PI-WGAN로부터 각각 500장의 이미지를 생성하였으며, 각 이미지에 대해 DGB 수를 계산하였다. 이후 각 epoch에서 얻어진 500개의 데이터에 대해 평균값과 중앙값을 산출하여 두 모델의 학습 경향을 비교하였다.

그림 7에 제시된 결과와 같이, 초기 학습 구간인 30–60 epoch에서는 PI-WGAN의 평균값과 중앙값이 baseline WGAN보다 전반적으로 낮게 나타났으며, 그 차이는 약 50% 수준이었다. 이는 물리적 제약이 도입된 모델이 학습 초기 단계에서 GB 연속성을 보다 빠르게 개선함을 보여준다. 특히 30 epoch에서 두 모델 간 차이가 가장 크게 나타났으며, 이후 epoch가 증가함에 따라 그 차이는 점차 감소하였다. 70 epoch 이후에는 두 모델 간 중앙값 차이가 사라졌으며, 평균값 역시 초기 epoch에 비해 유사한 수준으로 접근하는 경향을 보였다. 이러한 결과는 물리적 제약의 효과가 학습 전 구간에서 동일한 크기로 유지된다기보다, 주로 초기 학습 단계에서 GB 연속성의 빠른 확보에 기여함을 보여준다. 다만 평균값과 중앙값은 분포의 대표값만을 반영하는 요약 통계량이므로, 각 epoch에서 DGB 분포의 퍼짐 정도나 tail의 차이를 충분히 보여주기에는 한계가 있다. 따라서 다음 섹션 3.2.2에서는 히스토그램과 통계 검정을 통해 두 모델의 분포 차이를 보다 상세히 비교하였다.

Fig. 7. Median (a) and mean (b) DGB(dangling grain boundary) count of baseline WGAN and PI-WGAN during training. At each epoch (30–100), 500 images were generated per model. Both models were trained on 1,000 PFM images at timestep 2000.

3.2.2 DGB (dangling grain boundary) 수의 히스토그램 분석

학습 초반, 중반, 후반의 경향성을 파악하기 위해 30, 60, 100 epoch에서의 DGB 수 분포를 히스토그램으로 비교하였다. 각 epoch에서의 분포 차이를 통계적으로 검증하기 위해 Mann–Whitney U 검정과 Kolmogorov–Smirnov(KS) 검정을 수행하였으며, 효과 크기는 rank-biserial correlation으로 산출하였다. 또한 두 분포 간 유사도를 정량화하기 위해 Jensen–Shannon(JS) divergence를 산출하였다.

Mann–Whitney U 검정은 두 독립 집단의 값에 순위를 부여하여 한 집단이 다른 집단보다 전반적으로 더 큰 값 또는 더 작은 값을 갖는 경향이 있는지를 평가하는 비모수 검정이다^[23]. 각 epoch마다 PI-WGAN과 baseline WGAN에서 각각 500장의 이미지를 생성하여 DGB 수 분포를 비교하였으며, U 통계량과 p-value를 통해 두 집단 간 차이의 통계적 유의성을 평가하였다. 또한 그룹 순서(PI-WGAN, baseline WGAN) 기준에서 더 작은 U 값은 PI-WGAN이 baseline WGAN보다 더 낮은 DGB 수를 보이는 경향과 대응한다. Rank-biserial correlation은 Mann–Whitney U 통계량으로부터 산출되는 효과 크기 지표로, 절댓값이 클수록 두 집단 간 차이가 큼을 의미한다^[24]. KS 검정은 두 분포의 누적분포함수 간 최대 거리를 측정하며, 이 거리가 클수록 두 분포의 형태가 다름을 의미한다^[25]. JS divergence는 두 확률분포 간 차이를 정량화하는 지표이다. JS divergence은 0에서 1 사이의 값을 가지며, 0에 가까울수록 두 분포가 유사하고 값이 클수록 분포 차이가 큼을 의미한다^[26].

그림 8는 30 epoch에서 생성된 500장의 이미지에 대한 DGB 수의 히스토그램을 보여준다. PI-WGAN의 분포는 baseline WGAN보다 낮은 값 영역에 집중되어 있으며, PI-WGAN의 최대값은 24인 반면 baseline WGAN에서는 35 이상의 값이 5개 나타났고 최대값은 82로 baseline 모델에서 더 긴 tail이 형성됨을 확인할 수 있다. Mann-Whitney U 검정 결과 두 분포 간 차이는 통계적으로 유의하였으며 ($U = 28,978$, $p < 0.001$), rank-biserial correlation에 의한 효과 크기는 $r = 0.768$로 큰 값을 보였다. 이는 PI-WGAN에서 임의로 추출한 이미지가 baseline WGAN보다 낮은 DGB 수를 가질 확률이 약 88%임을 의미한다. KS 검정 역시 두 분포의 형태가 유의하게 다름을 확인하였다 ($D = 0.616$, $p < 0.001$). 또한, JS divergence는 0.4046으로, 두 모델의 DGB 분포가 초기 학습 단계에서 상이함을 확인하였다. 이러한 결과는 학습 초기 단계에서 물리적 제약이 GB 연속성의 빠른 확보에 기여함을 보여준다.

Fig. 8. Histogram of DGB(dangling grain boundary) count for 500 generated images at 30 epochs. (a) PI-WGAN and (b) baseline WGAN.

그림 9는 60 epoch에서 생성된 500장의 이미지에 대한 DGB 수의 히스토그램을 보여준다. 30 epoch과 비교하면 두 모델 모두 낮은 값 영역으로 분포가 이동하였으며, 학습이 진행됨에 따라 DGB가 줄어드는 쪽으로 이미지 품질이 향상되었음을 확인할 수 있다. PI-WGAN은 baseline WGAN보다 0–2 영역에 더 집중된 분포를 보였으며, peak 빈도 역시 더 높게 나타났다. 또한, PI-WGAN의 최대값은 11인 반면 baseline WGAN에서는 17까지 나타났다. 30 epoch 대비 두 모델 간 범위 차이는 크게 줄어들었으나 baseline WGAN이 여전히 더 넓은 분포를 보였다. Mann-Whitney U 검정 결과 두 분포 간 차이는 여전히 통계적으로 유의하였으나 ($U = 96,340$, $p < 0.001$), 효과 크기는 $r = 0.229$로 30 epoch에서의 값과 비교하여 두 모델 간 실질적 차이가 크게 감소하였음을 보여준다. KS 검정에서도 분포 형태의 유의한 차이가 확인되었으나($D = 0.178$, $p < 0.001$), 30 epoch ($D = 0.616$) 대비 차이의 정도는 줄어들었다. JS divergence는 0.0503으로, 30 epoch의 0.4046 대비 크게 감소하여 두 분포 간 차이가 빠르게 줄어들었음을 정량적으로 뒷받침한다.

Fig. 9. Histogram of DGB (dangling grain boundary) count for 500 generated images at 60 epochs. (a) PI-WGAN and (b) baseline WGAN.

그림 10는 100 epoch에서 생성된 500장의 이미지에 대한 DGB 수의 히스토그램을 보여준다. 두 모델 모두 낮은 값 영역에 집중된 분포를 나타냈으나, PI-WGAN의 최대값은 9인 반면 baseline WGAN은 12로 여전히 PI-WGAN이 더 좁은 범위의 분포를 보였다. 또한 PI-WGAN은 0–2 영역에서의 peak 빈도가 더 높게 나타났고 baseline WGAN 대비 낮은 값에 보다 집중된 분포를 유지하고 있었다. Mann-Whitney U 검정 결과 두 분포 간 차이는 여전히 통계적으로 유의하였으나($U = 102,699$, $p < 0.001$), 효과 크기는 $r = 0.178$로 비교적 작은 값이 나왔다. KS 검정에서도 분포 형태의 유의한 차이가 확인되었으나 ($D = 0.142$, $p < 0.001$), 그 규모는 30 epoch ($D = 0.616$) 및 60 epoch ($D = 0.178$) 대비 감소하였다. JS divergence는 0.0243으로 더욱 감소하여, 학습 후반부에서 두 모델의 DGB 분포가 유사한 수준으로 수렴하였음을 확인하였다. 이러한 결과는 물리적 제약의 효과가 학습 전 구간에 걸쳐 균일하게 유지되기보다, 주로 학습 초기에 집중되며 학습이 진행됨에 따라 baseline WGAN도 유사한 수준에 도달함을 보여준다. 전반적으로 PI-WGAN은 baseline WGAN보다 DGB 분포의 높은 값 영역을 억제하는 경향을 보였다.

Fig. 10. Histogram of DGB(dangling grain boundary) count for 500 generated images at 100 epochs. (a) PI-WGAN and (b) baseline WGAN.

3.3.1 t = 2000에서의 GSD 비교

그림 11와 표 1은 $t = 2000$에서 PFM, PI-WGAN, baseline WGAN가 생성한 이미지의 GSD를 비교한 결과이다. 세 그룹의 평균 결정립 수(grain count)는 224.66–226.66, 중앙값은 225–228로, 두 생성 모델 모두 PFM 데이터의 중심 경향성에 근접하였다. 분포의 전체 형태를 비교하였을 때, 두 생성 모델 모두 PFM 데이터와 유사한 범위에 주요 peak 구간이 형성되어 평균 결정립 수 뿐만 아니라 전체적인 분포의 경향을 일정 수준 반영하였다. 다만 PFM 데이터의 표준편차가 12.05인 반면, PI-WGAN과 baseline WGAN는 각각 4.62와 3.78로 두 생성 모델 모두 PFM 데이터의 분산과 다양성을 충분히 재현하지 못하였고 분포의 tail도 짧게 나타났다. PI-WGAN은 baseline 대비 표준편차가 약 22% 높아 상대적으로 더 넓은 분포를 보였으나, 그 차이는 제한적이었다.

PFM과 각 생성 모델 간 GSD 분포 차이를 통계적으로 검증하기 위해 각 생성 모델을 PFM 데이터와 비교하였다. Mann–Whitney U 검정 결과, PFM과 PI-WGAN 간에는 $U = 576,627$, $p < 0.001$이었으며, PFM과 baseline WGAN 간에는 $U = 579,490$, $p < 0.001$이었다. 두 생성 모델 모두 PFM과 통계적으로 유의미한 차이를 보였다. 다만 rank-biserial correlation은 각각 $r = -0.153$, $r = -0.159$로 효과 크기는 모두 작은 수준이었다. KS 검정에서는 PI-WGAN ($D = 0.293$, $p < 0.001$)과 baseline WGAN ($D = 0.340$, $p < 0.001$) 모두 PFM과 유의한 분포 형태 차이를 보였다. 이때, PI-WGAN은 baseline WGAN보다 낮은 $D$ 값을 나타내어 KS 통계량을 기준으로 PFM의 grain count 분포에 상대적으로 더 가까운 경향을 보임을 알 수 있다. JS divergence 또한 PFM과 PI-WGAN 간 비교에서 0.2675, PFM과 baseline WGAN 간 비교에서 0.3336으로 나타나 동일한 경향성을 보여줬다.

PFM 대비 두 생성 모델에서의 분산 축소에는 학습 데이터 구성 및 augmentation의 구조적 한계가 일부 기여한 것으로 판단된다. 본 연구에서 사용한 학습 데이터는 각 시간당 1000장으로 GSD의 변동 범위가 원천적으로 이 1000장의 분포에 의해 결정된다. Section 2.2에서 기술한 rotation 기반 augmentation은 GB의 공간적 배치와 형상에 변화를 부여하여 이미지의 다양성을 확보하지만, 이미지 내 결정립 수 자체는 회전에 의해 거의 변화하지 않으므로 GSD의 폭을 넓히는 데에는 기여하지 못한다. 따라서 GAN이 학습 과정에서 접하는 결정립 수의 변동 범위가 제한되며, 이러한 요인이 생성 이미지에서의 분산 축소에 기여했을 가능성이 있다.

Fig. 11. Grain count distributions at t = 2000 for (a) the PFM training data, (b) PI-WGAN generated images, and (c) baseline WGAN generated images. Each histogram was constructed from 1,000 images. Note that the y-axis scale differs between panels due to differences in distributional spread.

3.3.2 시간 단계별 Grain 수 재현성

$t = 2000$을 기준으로 최적화된 PI-WGAN의 하이퍼파라미터가 다른 timestep에서도 유효한지를 확인하기 위해, 동일한 학습 조건으로 $t = 1000, 3000, 4000$에 대해 추가 학습을 수행하였다. 섹션 3.3.1에서 두 생성 모델의 GSD 중심값이 거의 동일하게 나타났으므로, 본 분석에서는 PI-WGAN을 대표로 비교하였다. 각 시간에서 PFM 데이터는 학습에 사용된 이미지 1,000장, PI-WGAN 데이터는 100 epoch에서 생성된 이미지 1,000장을 기준으로 GSD의 평균값과 중앙값을 계산하였다. 그림 12에 나타난 바와 같이, 평균 결정립 수 기준 PI-WGAN의 결과는 PFM 대비 약 0.8%의 평균 상대오차를 보였고 중앙값 기준 평균 상대오차는 약 1.3%로 나타났다. 이 결과는 시간 1000–4000 범위에서 PI-WGAN이 각 시간에 해당하는 평균 결정립 수를 안정적으로 재현하였음을 보여준다.

Fig. 12. Comparison of (a) mean grain count and (b) median grain count for the PFM training dataset and PI-WGAN generated images at t = 1000, 2000, 3000, 4000. For each time, the grain count statistics were obtained from 1000 PFM training images and 1000 images generated by PI-WGAN at 100 epochs.